Funktion g
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Funktionsterm
Wir erstellen ein Gleichungssystem und brauchen dazu die allgemeine Gleichung dritten Grades und ihre Ableitung:
\( \quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & ax^3 + bx^2 + cx + d \\[6pt] f'(x) & = & 3ax^2 + 2bx + c \\[6pt] f''(x) & = & 6ax + 2b \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir nehmen die angegebenen Punkte und setzen sie in die entsprechende allgemeine Gleichung ein:
\( \quad \begin{array}{ l c r c l } T(0|0) & \quad \Longrightarrow & f(0) & = & 0 \\[6pt] & \quad \Longrightarrow & f'(0) & = & 0 \\[6pt] W \left( -\frac{1}{2}\Bigl|\frac{5}{4}\right) & \quad \Longrightarrow & f\left( -\frac{1}{2}\right) & = & \frac{5}{4} \\[6pt] & \quad \Longrightarrow & f''\left( -\frac{1}{2}\right) & = & 0 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
\( \quad \begin{array}{ r*{10}{r} } \textrm{I} & 0 & = & & & & & & & d \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & & & & & c & & \\[6pt] \textrm{III} & \frac{5}{4} & = & \left(-\frac{1}{2}\right)^3 a & + & \left(-\frac{1}{2}\right)^2 b & - & \frac{1}{2} c & + & d \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot a & + & 2 b & & & & \\[24pt] \textrm{I} & 0 & = & & & & & & & d \\[6pt] \textrm{II} & 0 & = & & & & & c & & \\[6pt] \textrm{III} & \frac{5}{4} & = & -\frac{1}{8} a & \quad + & \frac{1}{4} b & - & \frac{1}{2} c & \quad + & d \\[6pt] \textrm{IV} & 0 & = & - 3 a & + & 2 b & & & & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Wir lösen das Gleichungssystem mit dem Taschenrechner und erhalten die Lösungen
\( \quad \begin{align} a & = 5 \\[6pt] b & = 7{,}5 \\[6pt] c &= 0 \\[6pt] d & = 0 \end{align} \)
\(\\\)
Daraus folgt die Funktion \(g\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l } g(x) & = & 5x^3 + 7{,}5x^2 \\[6pt] & = & \frac{10}{2}x^3 + \frac{15}{2}x^2 \\[6pt] & = & \frac{5}{2}x^2 \cdot (2x + 3 ) \\ \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Wertetabelle und Graph von g
\(\\\)
\( \quad \begin{array}{ | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | } \hline x & -1{,}50 & -1{,}25 & -1{,}00 & -0{,}75 & -0{,}50 & -0{,}25 & 0{,}00 & 0{,}25 & 0{,}50 \\[6pt] \hline g(x) & 0{,}00 & 1{,}95 & 2{,}50 & 2{,}11 & 1{,}25 & 0{,}39 & 0{,}00 & 0{,}55 & 2{,}50 \\ \hline \end{array} \)
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Neigungswinkel
Der Steigungswinkel (Neigungswinkel) wird berechnet mit
\( \quad m=tan(\alpha) \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha = tan^{-1}(m) \; {,} \)
\(\\\)
wobei die Steigung der Tangente im Wendepunkt die 1. Ableitung von \(g(x)\) im Wendepunkt ist, also bei \(x=-0{,}5\).
\( \quad \begin{array}{ r c l } tan(\alpha) & = & m \\[6pt] tan(\alpha) & = & g'(-0{,}5) \\ \end{array} \)
\(\\\)
Mit
\( \quad g'(x) = 15x^2 + 15x \)
\(\\\)
folgt
\( \quad \begin{array}{ r c l } tan(\alpha) & = & 15 \cdot (-0{,}5)^2 + 15 \cdot (-0{,}5) \\[6pt] & = & -3{,}75 \\ \end{array} \)
\(\\\)
Daraus ergibt sich für
\( \quad \alpha = tan^{-1}(-3{,}75) \approx -75{,}07^\circ \)
\(\\\)
Wir bekommen ein negatives Ergebnis, da wir einen Neigungswinkel haben. Der von der Tangente und der \(x\)-Achse eingeschlossene Winkel beträgt also ca. \(75^\circ\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 4 – Wendetangente
Wir berechnen die Schnittpunkte zwischen der Wendetangente und den Graphen von g und stellen dazu die Gleichung t der Wendetangente auf. Die allgemeine Gleichung lautet
\( \quad t(x) = mx + b \)
\(\\\)
Die Steigung bei \(x=-0{,}5\) sowie die Koordinaten \(W(-0{,}5|1{,}25)\) eingesetzt ergeben
\( \quad \begin{array}{ r c l l } 1{,}25 & = & -3{,}75 \cdot (-0{,}5) + b & \\[6pt] 1{,}25 & = & 1{,}875 + b & | \; -1{,}875 \\[6pt] -0{,}625 & = & b & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Damit erhalten wir die Funktionsgleichung der Wendetangente
\( \quad t(x) = -3{,}75x - 0{,}625 \)
\(\\\)
Die Schnittpunkte von \(t\) und \(g\) werden berechnet mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } t(x) & = & g(x) & \\[6pt] -3{,}75x - 0{,}625 & = & 5x^3 + 7{,}5x^2 & | \; +3{,}75x \\[6pt] -0{,}625 & = & 5x^3 + 7{,}5x^2 + 3{,}75x & | \; +0{,}625 \\[6pt] 0 & = & 5x^3 + 7{,}5x^2 + 3{,}75x + 0{,}625 & \\ \end{array} \)
\(\\\)
Der Taschenrechner liefert als einzige Lösung
\( \quad x = -0{,}5 \)
\(\\\) was ja die \(x\)-Koordinate des Wendepunkts ist.
\(\\\)